由数据范围反推算法复杂度以及算法内容
一般ACM或者笔试题的时间限制是1秒或2秒。
在这种情况下，C++代码中的操作次数控制在 $10^7 \sim 10^8$ 为最佳。
下面给出在不同数据范围下，代码的时间复杂度和算法该如何选择：
- $n \le 30$, 指数级别, dfs+剪枝，状态压缩dp
- $n \le 100$ => $O(n^3)$，floyd，dp，高斯消元
- $n \le 1000$ => $O(n^2)$，$O(n^2logn)$，dp，二分，朴素版Dijkstra、朴素版Prim、Bellman-Ford
- $n \le 10000$ => $O(n * \sqrt n)$，块状链表、分块、莫队
- $n \le 100000$ => $O(nlogn)$ => 各种sort，线段树、树状数组、set/map、heap、拓扑排序、dijkstra+heap、prim+heap、Kruskal、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整体二分、后缀数组、树链剖分、动态树
- $n \le 1000000$ => $O(n)$, 以及常数较小的 $O(nlogn)$ 算法 => 单调队列、 hash、双指针扫描、BFS、并查集，kmp、AC自动机，常数比较小的 $O(nlogn)$ 的做法：sort、树状数组、heap、dijkstra、spfa
- $n \le 10000000$ => $O(n)$，双指针扫描、kmp、AC自动机、线性筛素数
- $n \le 10^9$ => $O(\sqrt n)$，判断质数
- $n \le 10^{18}$ => $O(logn)$，最大公约数，快速幂，数位DP
- $n \le 10^{1000}$ => $O((logn)^2)$，高精度加减乘除
- $n \le 10^{100000}$ => $O(logk \times loglogk)，k表示位数$，高精度加减、FFT/NTT
时间复杂度分析实例
| 基础算法 | |
|---|
| 快速排序 归并排序 二分 | $O(nlogn)$ |
| 双指针 数组元素目标和 | $O(n)$ |
| 数据结构 | |
|---|
| 单链表 栈 (插入 删除操作) | $O(1)$ |
| 单调栈 单调队列 | $O(n)$ |
| KMP | $O(n)$ |
Trie字符串统计 | $O(n)$ |
| 并查集 (路径压缩) | $O(nlogn)$ |
| 堆排序 | $O(nlogn)$ |
| 模拟散列表 | $O(1)$ |
| 搜索与图论 | |
|---|
| 排列数字（全排列） | $O(n*n!)$ |
dfs bfs | $O(n+m)$ |
| Dijkstra | $O(mlogm)$ |
| Bellman_ford | $O(nm)$ |
spfa | $O(nm)$ |
| Floyd | $O(n^3)$ |
| Prim | $O(n^2)$ |
| Kruskal | $O(mlogm)$ |
| 染色法判定二分图 | $O(n+m)$ |
| 匈牙利算法 | $O(nm)$ |
spfa算法， 匈牙利算法， 最大流算法时间复杂度理论值很大，但是实际运行速度很快
| 数学知识 | |
|---|
| 试除法判定质数 分解质因数 | $\sqrt{n}$ |
| 筛质数 | nlogn |
| 埃氏筛 | $O(nlogn)$ |
| 线性筛 | $O(nloglogn)$ |
| 最大公约数 | logn |
| 快速幂 | logn |
动态规划问题的计算量=状态数量*状态转移的计算量
| 动态规划 | |
|---|
| 背包问题 | k重循环, 算法时间复杂度就是$n^k$ |
| 最长上升子序列II | $nlogn$ |
| 蒙德里安的梦想 | $2^{2n} \cdot n$ |
| 没有上司的舞会 | $O(n)$ |
空间复杂度分析
64M
1 Byte = 8 bit
1 KB= 1024 Byte
1 MB=1024*1024 Byte
1 GB=1024 * 1024 * 1024 Byte
int 4 Byte
char 1 Byte
double, long long 6Byte
bool 1 Byte
参考: https://www.acwing.com/blog/content/32/
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